Могучий и неисчерпаемый… Это он - треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. У разных народов и в разные времена он служил для воплощения возвышенных образов природы и природных сил в простые и загадочные символы. Например, в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету. Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.
А оказывается есть ещё и треугольник Паскаля. Как оказалось, а это и не совсем треугольник в привычном для нас представлении. Это скорее таблица с интересной структурой, простой и совершенной, содержащая числа – коэффициенты. Поскольку числа данного треугольника обладают особыми свойствами, то сам треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом.
О БЛЕЗЕ ПАСКАЛЕ
ВОТ КАКОЙ ОН РАЗНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами и назван в честь великого французского математика Блеза Паскаля.
Однако еще за столетие до выхода в свет трактата Паскаля его таблица – только не в “треугольной”, а в “прямоугольной” форме – была опубликована в “Общем трактате о числе и мере” (1556-1560), вышедшем частично также только после смерти его автора, которым был выдающийся итальянский математик Никколо Тарталья. Таблица Тартальи имела следующий вид.
В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года, что является датой выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета.
Изображен такой треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
Из книги "Математические новеллы" (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера можно привести его высказывание: "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".
Схему построения треугольника была предложена Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно - розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.
Свойства арифметического треугольника
Свойство №1.
Треугольник Паскаля бесконечен.
Свойство №2.
Сумма чисел в строках треугольника Паскаля = , где n - номер строки.
Свойство №3.
Треугольник Паскаля симметричен относительно центрального столбца.
Свойство №4.
Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, расположенные по порядку.
Свойство №5.
Вторая диагональ треугольника Паскаля - это «треугольные» числа. Можно заметить, что если к 1 прибавить 2, мы получим 3, если к 3 прибавить 3, мы получим 6, а если к 6 прибавить 4 получится10, и таким образом каждый может продлить этот бесконечный ряд самостоятельно.
Свойство №6.
Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
Свойство №7.
Четвёртая диагональ треугольника Паскаля - это уже фигурные числа в четырехмерном измерении, поэтому это можно только представить в виртуальном мире.
Свойство №8.
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).
Свойство №9.
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы)
Свойство №10.
В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
Свойство №11.
Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
Свойство №12.
Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки чёрного цвета, а чётные- белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники.
Свойство 13.
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А.